Hệ phương trình tuyến tính và cách giải
Mời chúng ta cùng tìm hiểu thêm nội dung bài giảng Bài 1: Hệ phương trình đường tính dưới đây để tò mò về dạng màn biểu diễn ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,...
Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính và cách giải
1. Dạng biểu diễn ma trận
2. Giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng phương pháp Gauss
3. Định lý Cronecker - Capelli
4. Hệ Cramer
5. Hệ phương trình con đường tính thuần nhất
Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình con đường tính 4 ẩn số sau đây:
(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)
Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))
Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là: AX = B.
Trong trường vừa lòng tổng quát, ta xét hệ m phương trình con đường tính nẩn như sau:
(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)
Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.
Ma trận(A_m x n) hotline là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) call là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình.X điện thoại tư vấn là vectơ ẩn.2. Giải hệ phương trình đường tính bằng phương pháp Gauss.
Một phương pháp thông dụng nhằm giải hệ phương trình đường tính là cách thức Gauss, đưa ma trận hệ số không ngừng mở rộng (overline A ) về dạng lan can hay bậc thang thu gọn, nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))
Giải:
Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :
Ta gồm hệ phương trình (I) tương đương:
(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)
Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )
Như thế, hệ phương trình có vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:
(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))
Giải
Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là:
Ta tất cả hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)
Vậy hệ tất cả nghiệm độc nhất vô nhị X = (1;2;3)
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))
Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là
Ta bao gồm hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
3. Định lý Cronecker - Capelli
Xét hệ phương trình tuyến đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)
Ta có:
Hệ gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ có vô số nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc đó, hệ phương trình gồm k ẩn bao gồm ứng cùng với k bộ phận dẫn đầu và n - k ẩn từ bỏ do, được gửi sang vế phải.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính
(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))
Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là
Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn
Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)
Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến tính
(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))
Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là
Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))
Giải:Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là
Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn chính ứng cùng với 2 thành phần dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta gồm hệ phương trình gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng thể là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)
4. Hệ Cramer
Hệ phương trình tuyến tính AX = B được hotline là hệ Cramer trường hợp A là ma trận vuông ko suy biến , nghĩa là(left| A ight| e 0)
Khi đó, ta tất cả nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)
Nếu cấp cho của ma trận A khá bự thì việc tìm(A^-1) tương đổi phức tạp. Hơn nữa, có khi ta chi nên tìm một vài ba ẩn (x_j) nuốm vì tổng thể các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Tự đó, fan ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) phụ thuộc vào công thức (X = A^-1B) như sau :
(x_j = fracD_jD)
Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã có được từ A bằng cách thay cột j vày vế phải (cột B ).
Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính
(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)
Giải:
Ta có:
(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)
Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))
5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Hệ phương trình đường tính AX = 0 hotline là hệ thuần nhất. Kế bên các đặc thù chung của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn có các đặc thù riêng như sau :
Hệ luôn luôn có nghiệm đều đều X = 0 (không tất cả trường hòa hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy trở thành thì hệ gồm nghiệm tốt nhất (X = A^-10 = 0), đó là nghiệm trung bình thường.Nếu hệ gồm vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không khí con của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một các đại lý của không khí nghiệm được gọi là 1 hệ nghiệm cơ bản.Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)
Giải:
Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)
Đây là hệ Cramer, bắt buộc hệ có nghiệm độc nhất X = (0; 0; 0)
Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)
Giải:
Ta có:
Hệ có vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)
Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (-1;-2;1). Số chiều của không gian nghiệm là 1.
Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính
(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)
Giải:
Ta có:
Nghiệm bao quát là:
(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)
Một hệ nghiệm cơ bạn dạng là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.
