Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải
Mọi tín đồ giúp e giải những bài bác này nhé. E ko gọi lắm. Mà thầy cũng không giảng. Yêu cầu chả bik làm nuốm nào.Bạn đang xem: bài bác tập tích phân đường một số loại 1 có lời giải
2, $int_L y dx - (y+ x^^2) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ vị trí trục Ox theo chiều đồng hồ3, $int_L(2a-y)dx + xdy$; L là con đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0leqslant tleqslant 2pi ; a>0$4, $I=int_L xyz ds$; L là con đường cung của đường cong $x=t; y=frac13sqrt8t^3; z=frac12t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$#2
vo van duc
vo van ducThiếu úy
Điều hành viên Đại học
565 bài xích viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM
Dù hơi bị bận bịu một chút nhưng mà tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.
Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải
.......................................................
1) Tích phân nhịn nhường loại 1 trong các mặt phẳng.
$I=int_Lf(x,y)ds$
Nếu$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ tin left endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t) ight ).sqrt(x"(t))^2+(y"(t))^2dt$Nếu$L:left{eginmatrix y=y(x)\ xin left endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x,y(x))sqrt1+left ( y"(x) ight )^2dx$Nếu$L:left{eginmatrix x=x(y)\ yin left endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x(y),y)sqrtleft ( x"(y) ight )^2+1dx$Ví dụ 1:
$I_1=int _AB(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) cùng B(4,3).
Giải:
Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ và L là đoạn trực tiếp AB.
Cách 1: Ta màn biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.
Ta có:
$AB:left{eginmatrix x=4t\ y=3t\ tin left endmatrix ight.$
Khi đó
$I_1=int_0^1left sqrt4^2+3^2dt=5int_0^1tdt=frac52$
.............................................
Phương trình tham số của doạn AB ta lấy chỗ nào ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở chỗ này tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để họ tiện sử dụng.
Trong khía cạnh phẳng cùng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ cùng $B(x_B,y_B)$.Khi đó phương trình thông số đoạn AB là:$left{eginmatrix x=x_A+(x_B-x_A).t\ y=y_A+(y_B-y_A).t\ tin left endmatrix ight.$Trong mặt phẳng cùng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $left ( C ight )$ bao gồm phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi kia phương trình thông số của $left ( C ight )$ là:$left{eginmatrix x=a+Rcos t\ y=b+Rsin t\ tin left endmatrix ight.$.........................................................
Cách 2:
Ta bao gồm phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra$y=frac34x$.
Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?
Đó là$AB:left{eginmatrix y=frac34x\ xin left endmatrix ight.$
Khi đó
$I_1=int_0^4left sqrt1+left ( frac34 ight )^2dx=frac532int_0^4xdx=frac52$
Cách3:
Giống như bí quyết 2 ta cũng có$left{eginmatrix x=frac43y\ yin left endmatrix ight.$
Khi đó
$I_1=int_0^3left sqrtleft ( frac43 ight )^2+1dy=frac59int_0^3ydy=frac52$
2) Tích phân đường loại một trong không gian
$I=int_Lf(x,y,z)ds$
Ta biểu diễn$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ z=z(t)\ tin left endmatrix ight.$
Khi đó$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t),z(t) ight )sqrtleft ( x"(t) ight )^2+left ( y"(t) ight )^2+left ( z"(t) ight )^2dt$
Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.
$I_2=int_Lxyzds$ với$L:left{eginmatrix x=t\ y=frac13sqrt8t^3\ z=fract^22\ tin left endmatrix ight.$
Khi đó
$I_2=int_0^1t.frac13sqrt8t^3.fract^22.sqrt1^2+left ( sqrt2t ight )^2+t^2.dt$
$=fracsqrt23int_0^1t^frac92sqrt1+2t+t^2.dt=fracsqrt23int_0^1t^frac92(1+t)dt=frac16sqrt2143$
