Lời giải bài tập tích phân bội ba

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-7V

1. Định nghĩa tích phân kép:

*
Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín đáo D số lượng giới hạn bởi đường L (đóng và bị ngăn ; miền D kín nếu nó số lượng giới hạn bởi con đường cong kín, và những điểm bên trên biên L được xem như là thuộc D)

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt bên trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) khẳng định và liên tục trong miền D).

Bạn đang xem: Lời giải bài tập tích phân bội ba

Khi đó, ta phân chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là

*
và từng miền có đường kính là
*
(đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn độc nhất vô nhị giữa nhị điểm thuộc miền đó. Giỏi ta hoàn toàn có thể ký hiệu:
*
)

Lấy trên mỗi miền 1 điều

*
khi đó trên mỗi miền
*
, thì hình trụ sẽ dao động với hình trụ bao gồm đáy là
*
và độ cao là
*
. Vì chưng đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D với mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:

*

Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào vào giải pháp chia (còn điện thoại tư vấn là phân hoạch của ) miền D và bí quyết chọn điểm Pi. Bởi vậy, nếu họ chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chủ yếu xác. Nghĩa là, 2 lần bán kính di của từng miền càng nhỏ tuổi (càng tiến về 0) thì ta đang có chính xác diện tích của miền D.

Xem thêm: 10 Bài Toán Nâng Cao Dành Cho Học Sinh Giỏi Lớp 1 Năm Học 2021

Vậy, mang lại

*
làm sao để cho
*
. Khiđó, nếu tổng việt nam tiến mang đến 1 cực hiếm hữu hạn V không phụ thuộc cách phân chia miền D và cách chọn điểm Pi thì số lượng giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) bên trên miền D và được ký hiệu
*

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới vết tích phân, D được điện thoại tư vấn là miền đem tích phân; ds là nhân tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ có mang ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được khởi nguồn từ yêu mong tính thể tích của hình trụ xuất hiện trên là khía cạnh cong bất kỳ và dưới mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Bởi vì đó, f(x,y) > 0. Mặc dù nhiên, ta vẫn hoàn toàn có thể xét trường vừa lòng f(x,y) Và như vậy, ta rất có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.

2. Bởi tích phân 2 lớp không dựa vào vào biện pháp chia miền D đề nghị ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng tuy nhiên song với trục Oy (cách rất nhiều nhau 1 khoảng chừng Δx) và những đường thẳng tuy vậy song với trục Ox (cách hầu hết nhau 1 đoạn Δy). Khi ấy Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. đề nghị ta thường được sử dụng ký hiệu:

*

3. Nếu hàm số f(x,y) liên tiếp trên miền bí mật D thì nó khả tích bên trên miền D ấy. Nghĩa là,

*
trường thọ (ta thừa nhận điếu này)

2. đặc thù của tích phân kép:

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất tiếp sau đây ủa tích phân kép:

1.

*
(diện tích miền D)

2.

*

3.

*

4. Giả dụ miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ gồm điểm biên chung) thì: